Université Paris-Est Université Paris-Est - Marne-la-Vallée Université Paris-Est - Créteil Val-de-Marne Centre National de la Recherche Scientifique

Optimisation de forme sous contrainte de convexité

Site: 
Date: 
25/03/2013 - 14:00 - 15:00
Salle: 
2017
Orateur: 
LAMBOLEY Jimmy
Localisation: 
Université Paris Dauphine
Localisation: 
France
Résumé: 

L'un des problèmes isopérimétriques les plus classiques consiste à minimiser le périmètre de domaines de volume fixé. L'objectif de cet exposé est d'appréhender des problèmes de ce type, mais où la fonctionnelle à minimiser n'est plus le périmètre, et éventuellement les domaines sont soumis à des contraintes différentes ; l'objectif étant d'obtenir des informations de nature géométrique sur les solutions.

Par exemple, on évoquera des problèmes qui peuvent ressembler à "Quel domaine maximise le périmètre parmi les domaines de volume fixé ?". Pour qu'un tel problème soit bien posé, on devra imposer de très fortes contraintes sur les domaines admissibles. En l'occurrence, on les demandera convexes, ce qui fournit une formulation du type :
$$
\min\{J(K), K\textrm{ convexe }\subset\mathbb{R}^d\}
$$
où $J$ est une fonction d'énergie (par exemple l'opposé du périmètre).

Le problème de résistance minimal de Newton est le plus vieux problème de ce type, et il a été prouvé que les minimiseurs montrent des ruptures de symétries et de régularité, inhabituelles en calcul de variation.

De nombreux problèmes ouverts, issus de l'analyse fonctionnelle, de la géométrie convexe, et des EDP rentrent dans la formulation précédente ; on décrira ces exemples et quels outils on peut utiliser pour appréhender la nature géométrique des solutions.