De fait, l’infini figure deux fois dans cette célèbre phrase (Les Pensées, Edition Brunschvicg, p. 205), dans le temps et dans l’espace, mais toujours dans le lointain. Elle a reçu une très vive critique de Paul Valéry dans Variété I, le penseur en 1919 de la finitude des civilisations (« Nous aussi civilisations savons que nous sommes mortelles »). Valéry, qui a parcouru les textes mathématiques de Georg Cantor et Richard Dedekind, fait remarquer que, par la nouvelle construction du continu, l’infini est l’entourage familier de tout instant, disons de tout point sur la droite réelle. Turing réussit le tour de force en 1936, à l’aide de sa « machine », de dire ce qu’est un nombre calculable, par la présence d’un algorithme d’approximation, tout en reconnaissant qu’il existe de l’incalculable : autrement dit l’existence d’un infini décent, disons dénombrable, implique nécessairement l’infini effrayant. En discutant ces questions devenues classiques, je veux montrer que les mathématiques, même les plus techniques, sont aussi une partie vivante de la culture, sans apporter nécessairement de réponses dogmatiques.
