On considère l’enveloppe convexe d’un ensemble de $n$ points indépendants de loi gaussienne standard dans l’espace $\mathbb{R}^d$. Le polytope obtenu, dit polytope gaussien, constitue un des modèles centraux de la théorie des polytopes aléatoires qui remonte à l'énoncé du problème de Sylvester en 1864 et aux travaux fondateurs de Rényi et Sulanke à partir de 1963. Le but de cette théorie est d'étudier la loi de fonctionnelles classiques du polytope (comme le volume ou le nombre de sommets) et plus généralement d'obtenir des informations sur sa forme.
Il s'agit d'un travail en commun avec J. Vovelle dans lequel nous étudions le comportement en temps long des solutions de lois de conservations stochastiques. L'existence de celles-ci a été obtenue par plusieurs auteurs. Nous avons obtenue un résultat très général grâce à une généralisation au cadre stochastique de la formulation cinétique introduite par Lions, Perthame et Tadmor. Cette formulation est très puissante car elle permet de garder trace de la dissipation. En utilisant un lemme de moyenne, nous parvenons à montrer que, si l'équation n'est pas dégénérée, la dissipation d'énergie est suffisante pour assurer l'existence d'une mesure invariante. De plus, en dimension un et pour des flux au plus quadratique nous montrons qu'il y a unicité de la mesure invariante, et donc ergodicité. Nous généralisons ainsi un résultat de E, Khanin, Mazel et Sinai, obtenu pour l'équation de Burgers, à des équations générales pour lesquelles la formule de Hopf-Lax-Oleinik n'est pas valide.
This lecture deals with asymptotic models for the propagation of one-dimensional internal waves at the interface between two layers of immiscible fluids of different densities, under the rigid lid assumption and with a flat bottom. We present a new Green-Naghdi type model in the Camassa-Holm (or medium amplitude) regime. This model is fully justified, in the sense that it is consistent, well-posed, and that its solutions remain close to exact solutions of the full Euler system with corresponding initial data. Moreover, our system allows to fully justify any well-posed and consistent lower order model; and in particular the so-called Constantin-Lannes approximation, which extends the classical Korteweg-de Vries equation in the Camassa-Holm regime.
(Joint work with Colette Guillopé and Thierry Colin)
The lecture will focus upon long-crested waves in relatively shallow water. Examples in view include incoming waves to the surf zone from deep water, bore propagation on rivers and laboratory studies in wave tanks. While the waves are assumed to propagate in mainly in one direction, say the $x$-direction in a standard $xyz$-Cartesian coordinate system, variations in the $y$-direction are not ignored. The assumption is that these die out as $|y|$ becomes large. Theory is developed for model equations derived in this context. Local well-posedness is in fact straightforward. However, to be useful, the models should remain well posed at least on the so-called Boussinesq time scale. It is to this issue that attention is turned.
