L'entropie volumique est le taux de croissance exponentielle du volume des boules dans une variété riemannienne. Une conjecture de Gromov et Katok du début des années 80 prétend que la connaissance de l'entropie donne accès à beaucoup d'informations sur la géométrie ambiante, en particulier dans le cas des espaces localement symétriques.

Je présenterai ce problème ainsi que les conséquences que l'on peut espérer déduire de sa résolution. Un point de vue récent permet de traiter le cas des quotients compacts de $\left(\mathbb{H}^2\right)^n$.

Soit $M$ une variété compacte, orientable dont chaque composante de bord est un tore. La conjecture d'hyperbolisation de Thurston, prouvée par Perelman dans le cas sans bord et par Thurston dans les autres cas, dit que si $M$ est irréductible et atoroïdale, alors $M$ est hyperbolique ou fibrée de Seifert. Nous donnons une preuve unifiée de ce résultat en étendant la méthode de Perelman, basée sur le flot de Ricci, au cas non-compact. Il s'agit d'un travail en commun avec Laurent Bessières et Gérard Besson.

On sait depuis les travaux de Cheng que sur une surface compacte donnée, la multiplicité de la 2ème valeur propre d'un opérateur de Schrödinger est majorée indépendamment de la métrique et du potentiel. Dans les années 80, Yves Colin de Verdière a mis en lumière un lien (encore assez largement conjecturel) entre cette borne sur la multiplicité et le nombre chromatique de la surface. Récemment, ce problème de multiplicité a été étudié pour le spectre de Steklov (c-à-d le spectre de l'opérateur Dirichlet-Neumann) sur les surfaces à bord. Dans cet exposé, on présentera ces différents résultats et on introduira un nouvel invariant chromatique des surfaces à bord qui permet d'étendre la conjecture de Colin de Verdière au spectre de Steklov.