Phénomène de Newhouse et bifurcations en dynamique holomorphe à plusieurs variables

Orateur: Sébastien BIEBLER
Type: Thèse
Site: UPEM
Salle: 2B101
Date de début: 12/07/2018 - 14:00
Date de fin: 12/07/2018 - 15:00

Cette thèse est consacrée à l’étude du phénomène de Newhouse et des bifurcations en dynamique holomorphe à plusieurs variables. Elle comporte trois théorèmes principaux.

Le premier de ces trois résultats est un Gap Lemma complexe. En dynamique réelle, le Gap Lemma de Newhouse donne un critère sur le produit des épaisseurs de deux ensembles de Cantor dynamiques pour prouver que leur intersection est non vide. On en donne une généralisation partielle au cas des ensembles de Cantor dynamiques dans $\mathbb C$. Plus précisément, on introduit une notion d’épaisseur pour un ensemble de Cantor dynamique planaire et on fournit un critère sur le produit de deux épaisseurs afin d’obtenir une intersection entre deux ensembles de Cantor dynamiques. On montre également que l’épaisseur est une quantité qui varie continûment, ce qui permet d’obtenir des intersections persistantes d’ensembles de Cantor dynamiques.

Le second théorème de cette thèse démontre l’existence du phénomène de Newhouse dans l’espace des automorphismes polynomiaux de degré $d$ pour n’importe quel degré $d\ge 2$ dans $\mathbb C^3$. Au contraire de la situation dans $\mathbb C^2$, le degré est ici connu et optimal. Le point clef de la preuve est l’introduction dans le domaine complexe d’un outil issu de la dynamique réelle : le blender de Bonatti et Diaz. On formalise le concept de blender complexe et on donne un automorphisme polynomial de $\mathbb C^3$ de degré $2$ possédant un blender. Puis, on l’utilise afin de construire successivement des tangences persistantes et des sous-ensembles résiduels d’automorphismes ayant une infinité de puits.

Enfin, le dernier résultat porte sur les bifurcations d’endomorphismes holomorphes de $\mathbb P^2(\mathbb C)$ très particuliers, appelés exemples de Lattès, semi-conjugués à une application affine sur un tore. Dujardin a conjecturé que ces derniers étaient accumulés par des ouverts de bifurcations. On montre que tout exemple de Lattès de degré suffisamment élevé est accumulé par de telles bifurcations robustes. Ceci implique en particulier que tout exemple de Lattès possède un itéré dans l’adhérence de l’intérieur du lieu de bifurcation. La démonstration est basée sur l’obtention d’intersections persistantes entre l’ensemble postcritique et un ensemble hyperbolique répulsif contenu dans l’ensemble de Julia. La preuve est divisée en deux parties : on donne tout d’abord un toy-model qui permet d’obtenir des intersections persistantes entre l’ensemble limite d’un certain type d’IFS, appelé IFS correcteur, et une courbe. Ensuite, dans un second temps, on perturbe l’exemple de Lattès pour créer simultanément un IFS correcteur dans l’ensemble de Julia et une courbe bien orientée dans l’ensemble postcritique.