Cette thèse est consacrée à l’étude du modèle de Potts p-adique à q-états sur les arbres
de Cayley. Plus précisément, nous étudions les mesures de Gibbs p-adiques du modèle
de Potts sur les arbres de Cayley d’ordres 3 et 4 et leurs systèmes dynamiques p-adiques
associés.
Dans la première partie, nous décrivons les mesures de Gibbs p-adiques invariantes
par translation pour le modèle de Potts sur l’arbre de Cayley d’ordre 4. L’existence
de mesures de Gibbs p-adiques invariantes par translation est équivalente à l’existence
de points fixes d’une application rationnelle appelée application de Potts–Bethe. Cette
application de Potts–Bethe est obtenue à partir de l’équation récurrente d’une application
à valeur dans $\mathbb{Q}_p^q$ rencontrée lors de la construction des mesures de Gibbs p-adiques
du modèle de Potts sur les arbres de Cayley. Afin de décrire ces mesures de Gibbs padiques
invariantes par translation, nous trouvons les solutions d’une équation quartique
dans certains domaines $\mathcal{E}_p$ de $\mathbb{Q}_p$. En général, nous trouvons aussi des conditions de
solvabilité pour les équations quartiques dépréciée sur $\mathbb{Q}_p$.
Dans la deuxième partie, nous étudions la dynamique des applications de Potts–
Bethe dans le cas d’arbres de Cayley d’ordres 3 et 4. Premièrement, nous décrivons
l’application de Potts–Bethe ayant une bonne réduction. Pour une application de Potts–
Bethe ayant une bonne réduction, la droite projective $\mathbb{P}^1(\mathbb{Q}_p)$ peut être décomposée en
composants minimaux et leur bassins attractifs. Cependant, les applications de Potts–
Bethe associées au modèle de Potts sur les arbres de Cayley d’ordres 3 et 4 ont une
mauvaise réduction: pour de nombreux nombres premiers p, ces applications correspondantes
sont en effet chaotiques. En fait, pour ces nombres premiers p, nous prouvons
que, restreintes à leurs ensembles de Julia, les applications de Potts–Bethe sont
topologiquement conjuguées à une dynamique de décalage. Pour des autres nombres
premiers p, l’ensemble de Julia correspondant peut être vide. La propriété chaotique
de l’application de Potts-Bethe implique l’immensité de l’ensemble des mesures de
Gibbs p-adiques et une transition de phase. Comme application, nous obtenons que
pour de nombreux nombres premiers p, les modèles de Potts p-adiques sur les arbres
de Cayley d’ordres 3 et 4 ont une transition de phase. Nous remarquons également que
l’affirmation que la transition de phase implique le chaos n’est pas vraie.
