Les coulées de débris font l'objet d'études importantes en sciences de la Terre, car elles jouent un rôle clé dans le processus d'érosion et constituent un risque naturel majeur qui peut menacer la vie et les infrastructures. Comme la construction de modèles continus à partir de lois physiques à l'échelle des grains reste un défi non résolu, l'un des objectifs des études sur les coulées de débris est d'écrire des modèles prenant en compte les processus physiques pertinents, mais d'une manière simplifiée. Cette thèse s’inscrit dans ce cadre. Pour modéliser continûment les écoulements de débris biphasés impliquant des grains et des fluides, nous décrivons une couche de mélange moyenné en profondeur sous une couche de fluide. Nous obtenons ainsi des systèmes de type Saint Venant avec deux variables internes. Nous prenons en compte une topographie, ce qui conduit à un terme non conservatif et à des états stationnaires non triviaux. Nous considérons des rhéologies choisies pour décrire les effets de friction solide et de dilatance adaptées de Amarsid et al. [2017] et Bouchut et al. [2021], conduisant à des termes sources non linéaires. Une hiérarchie de modèles impliquant deux vitesses ou une seule vitesse est dérivée de Bouchut et al. [2016]. À des fins numériques, il est souhaitable de traiter un système où l'entropie mathématique (l'énergie physique du système) est convexe par rapport aux variables conservatives choisies. Après avoir évalué la possibilité de résoudre le modèle à deux vitesses, nous choisissons de nous concentrer sur le modèle à une vitesse. Il implique les inconnues physiques suivantes : la masse totale, la vitesse, la densité de la couche de mélange et une variable dépendant de la proportion de fluide entre les couches. Pour résoudre ce modèle à une vitesse, nous développons un schéma satisfaisant une inégalité d'entropie semi-discrète qui est l'analogue de l'entropie continue. Elle garantit une certaine stabilité. Le schéma est "équilibre" dans le sens où il préserve les états au repos. Des méthodes permettant de traiter les effets de la friction multivaluée et de dilatance tout en conservant la propriété d'équilibre sont introduites. Le schéma est illustré par des tests numériques qui incluent l'injection d'un matériau sur le côté gauche d'une boîte. C'est en effet la première fois qu’est résolu numériquement un cas test non uniforme à deux couches. Des configurations denses et lâches sont exposées et elles montrent des différences importantes dans les échelles de temps et d'espace. En particulier, il est démontré que la configuration lâche se liquéfie comme le prévoit la mécanique des sols.
