Etude de la régularité des solutions faibles d'énergie infinie d'une équation de transport non locale

Orateur: Omar LAZAR
Type: Thèse
Directeur: Marco CANNONE , LEMARIE-RIEUSSET Pierre-Gilles
Site: UPEM
Salle: 4B08R
Date de début: 21/02/2013 - 15:00
Date de fin: 21/02/2013 - 15:00

Dans cette thèse, nous étudions l’existence de solutions faibles d’énergie infinie de l’équation quasi-géostrophique dissipative critique (notée SQG) sur $\mathbb R^2$ ainsi qu’une équation de transport 1D dont la vitesse est non locale. Dans un premier temps, nous nous sommes attachés à étudier l’équation (SQG) lorsque la donnée initiale est dans l’espace de Morrey-Campanato non homogène $L_{uloc}^2(\mathbb R^2)$. Le manque de décroissance à l’infini du noyau de convolution de l’opérateur de Riesz ne permet pas de considérer le cas d’une donnée initiale $L_{uloc}^2(\mathbb R^2)$. Cependant, en donnant plus de décroissance au noyau de l’opérateur de Riesz, ou de façon équivalente, en donnant plus d’oscillations à $\theta_0$ nous rendons possible l’étude dans des espaces de type Morrey-Campanato. Dans une seconde partie, nous nous sommes intéressés à l’étude d’une équation de transport 1D dont la vitesse est non locale. Contrairement à l’équation (SQG), l’approche Morrey-Campanato pour l’équation 1D ne fournit pas de résultats satisfaisants. Le caractère non local de cette équation associé au fait qu’elle ne soit pas écrite sous forme divergence introduit de grandes difficultés. Cependant, nous allons voir que l’étude dans les espaces de Lebesgue à poids est possible et cette dernière approche fournit aussi des solutions d’énergie infinie.

Dans le chapitre 2, nous établissons un résultat d’existence globale de solutions faibles pour l’équation quasi-géostrophique dissipative critique lorsque la donnée initiale $\theta_0$ est dans l’espace de Morrey-Campanato $\Lambda^s(\dot{H}_{uloc}^s(\mathbb R^2))\cap L^\infty(\mathbb R^2)$, où $1/4télécharger