Cette thèse porte sur l’étude des perturbations singulières anisotropiques d’une certaine classe de problèmes elliptiques linéaires et non linéaires. Ces problèmes modélisent des phénomènes de diffusion dont les coefficients de diffusion tendent vers zero dans certaines directions de l’espace. Nous étudions le comportement asymptotique de la solution dans certains espaces pseudo-Sobolev. Dans un premier temps, nous nous intéressons à la question d’approximation par la méthode de Galerkin et à la question de sa préservation asymptotique pour un problème semi-linéaire monotone. A l’aide de la technique du produit tensoriel, des estimations d’erreurs des problèmes continus et discrets sont obtenues. La question du comportement asymptotique du semi-groupe de la chaleur est également abordée. Dans un second temps, nous étudions la conservation de la régularité elliptique pour le comportement asymptotique de la solution du problème semi-linéaire, des convergences locales et globales sont étudiées. Dans un troisième temps, nous étudions un problème non monotone avec un terme non linéaire abstrait. Des applications à des problèmes intégro-différentiels non standards sont envisagées, notamment à l’équation du transport des neutrons. Finalement, nous étudions le cas des problèmes avec données irrégulières, nous nous limitons au cas Lp avec 1 < p < 2. Des estimations du taux de convergence sont obtenues dans différents cas pour le problème linéaire. Des questions de convergence pour des problèmes non linéaires sont également traitées.
