Dans cette thèse, nous considérons l'approximation de la solution de l'équation différentielle stochastique avec des sauts et nous nous concentrons sur la convergence en distance de la variation totale. La principale méthode que nous utilisons est la technique d'intégration par parties dans le calcul de Malliavin. Cette thèse contient trois parties. Dans la première partie, nous voulons obtenir un schéma d'approximation précis pour l'équation de saut. Suivant l'idée de [1], nous remplaçons les "petits sauts" par un mouvement brownien. Nous prouvons que pour chaque temps fixé $t$, la variable aléatoire approchée $X^varepsilon_t$ converge vers la variable aléatoire originale $X_t$ en distance de variation totale et nous estimons l'erreur. Nous donnons également une estimation de la distance entre les densités des lois des deux variables aléatoires. Dans la seconde partie, nous traitons des équations à sauts de type Mckean-Vlasov et Boltzmann. Cela signifie que les coefficients de l'équation dépendent de la loi de la solution et que l'équation est dirigée par une mesure ponctuelle de Poisson avec une mesure d'intensité qui dépend également de la loi de la solution. Dans [2], Alfonsi et Bally ont prouvé que sous certaines conditions convenables, la solution $X_t$ d'une telle équation existe et est unique. Ils prouvent également que $X_t$ est l'interprétation probabiliste d'une équation faible analytique. De plus, étant donné une partition $mathcal{P}$ de l'intervalle de temps, ils définissent $X_t^{mathcal{P}}$ comme étant le schéma d'Euler associé à $mathcal{P}$, et prouvent que $X_t ^{mathcal{P}}$ converge vers $X_t$ en distance de Wasserstein. Dans cette thèse, sous des hypothèses plus restreintes, nous montrons que le schéma d'Euler $X_t^{mathcal{P}}$ converge vers $X_t$ en distance de variation totale et $X_t$ a une densité "smooth" (qui est une fonction solution de l'équation faible analytique). D'autre part, en vue de la simulation, nous utilisons un schéma d'Euler tronqué $X^{mathcal{P},M}_t$ qui a un nombre fini de sauts dans tout intervalle compact. Nous prouvons que $X^{mathcal{P},M}_{t}$ converge également vers $X_t$ en distance de variation totale. Enfin, nous donnons un algorithme basé sur un système de particules associé à $X^{mathcal{P},M}_t$ afin d'approximer la densité de la loi de $X_t$. Des estimations complètes de l'erreur sont obtenues. Dans la troisième partie, nous établissons un cadre abstrait pour l'approximation de la mesure de probabilité invariante d'un semi-groupe de Markov. Suivant l'approche de [4], nous utilisons le schéma d'Euler avec étapes décroissantes (qui est appelé l'algorithme de Langevin non-ajusté dans les littératures de Monte Carlo) pour faire la simulation. Sous certaines "propriétés de Lipschitz exponentielle" et propriétés de régularisation, nous donnons une estimation de l'erreur en distance de la variation totale. Les principaux résultats dans [4] et [3] sont des cas particuliers de notre cadre. Nous appliquons également ce cadre aux processus de saut et obtenons une estimation de l'approximation de la mesure de probabilité invariante en distance de variation totale.
