On étudie certaines propriétés d’une classe de processus aléatoires réels à temps continu, les marches aléatoires multifractales. Une particularité remarquable de ces processus tient en leur propriété d’autosimilarité : la loi du processus à petite échelle est identique à celle à grande échelle moyennant un facteur aléatoire et indépendant du processus. La première partie de la thèse se consacre à la question de la convergence du moment empirique de l’accroissement du processus dans une asymptotique assez générale, où le pas de l’accroissement peut tendre vers zéro en même temps que l’horizon d’observation tend vers l’infini.
La deuxième partie propose une famille de tests non-paramétriques qui distinguent entre marches aléatoires multifractales et semi-martingales d’Itō. Après avoir montré la consistance de ces tests, on étudie leur comportement sur des données simulées.
On construit dans la troisième partie un processus de marche aléatoire multifractale asymétrique tel que l’accroissement passé soit négativement corrélé avec le carré de l’accroissement futur. Ce type d’« effet levier » est notamment observé sur les prix d’actions et d’indices financiers. On compare les propriétés empiriques du processus obtenu avec des données réelles.
La quatrième partie concerne l’estimation des paramètres du processus dans un cas gaussien. On commence par montrer que sous certaines conditions, deux des trois paramètres ne peuvent être estimés. On étudie ensuite les performances théoriques et empiriques de différents estimateurs du troisième paramètre, le coefficient d’intermittence.
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