Le prolongement unique est souvent prouvé par des inégalités de Carleman ou le théorème de Holmgren. Le premier nécessite la condition de forte pseudoconvexité de l'hypersurface. Le second demande seulement que l'hypersurface soit non caractéristique mais impose des coefficients analytiques.
Motivés par l'exemple des ondes, plusieurs auteurs (Tataru, Robbiano-Zuily, Hörmander) ont finalement prouvé de façon très générale qu'il pouvait y avoir aussi prolongement unique dans des situations intermédiaires où les coefficients sont analytiques dans certaines des variables. En particulier, pour l'équation des ondes, cela a permis de prouver le prolongement unique le long d'une hypersurface non caractéristique pour une métrique non nécessairement analytique.
Dans cet exposé, après avoir présenté ces divers travaux, je décrirai des travaux récents avec Matthieu Léautaud où l'on quantifie ce prolongement unique. Cela fournit des estimées de stabilité logarithmiques optimales (en général). On donnera aussi des applications au contrôle.
