Nous nous intéressons aux théorèmes centraux limites dans des espaces de fonctionnelles non linéaires d'un nombre arbitrairement grand voire infini de variables gaussiennes indépendantes. Les chaos de Wiener sont des sous espaces particuliers de fonctionnelles polynomiales, apparaissant naturellement comme sous espaces propres de l'opérateur de Ornstein-Uhlenbeck. L'intérêt des chaos de Wiener est double:
-d'une part ils établissent une décomposition orthogonale naturelle des fonctionnelles de carré intégrable, et on peut dans les bons contextes obtenir des théorèmes limites sur des fonctionnelles générales en étudiant leurs projections sur chacun des chaos.
-d'autre part la structure particulière de ces chaos permet d'y établir beaucoup de propriétés intéressantes. En particulier il y existe des critères assez simples caractérisant la convergence en loi vers une gaussienne.
Je tenterai d'expliquer certains théorèmes classiques sur le sujet, puis mes travaux en collaboration avec Ronan Herry et Guillaume Poly cette année: nous montrons que dans les chaos de Wiener, il y a un phénomène structurel de régularisation des lois dans les théorèmes centraux limites: si une suite converge en loi vers une gaussienne, la régularité des densités augmente asymptotiquement, et toutes les dérivées convergent uniformément vers celles de la loi normale. Notre preuve consiste à relier la régularité des lois avec certaines propriétés de non dégénérescence du spectre de la Hessienne des fonctionnelles.
