Nous étudions le problème suivant : trouver $u\in U$ tel que $a(u,v) = \langle L, v \rangle$ pour tout $v\in V$, où $U$ et $V$ sont des espaces de Hilbert ou de Banach, $a$ est une forme continue bilinéaire ou sesquilinéaire et $L\in V'$ est donnée.
La solution approchée est recherchée dans un sous-espace de dimension finie de $U$ et les fonctions test sont choisies dans un sous-espace de dimension finie de $V$. Nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes sur la forme $a$ pour garantir la convergence de l'approximation au sens de Galerkin.
Dans le cas particulier où les espaces sont hilbertiens, nous prouvons que les seules formes continues bilinéaires ou sesquilinéaires pour lesquelles toutes les approximations de Galerkin convergent, appelées approximations de Galerkin universelles, sont les formes essentiellement coercives. Dans ce contexte, une généralisation du théorème de Aubin-Nitsche permet d'obtenir des estimations a priori optimales pour des problèmes de Poisson avec un terme de déviation.
