Le problème de l'existence et de la régularité des solutions des équations de Navier-Stokes constitue l'un des problèmes du millénaire de l'institut mathématiques Clay. Ces équations décrivent la dynamique des fluides liquides ou gazeux. Le problème est de prouver ou de trouver un contre-exemple à la proposition suivante qui résume l'énoncé qui porte sur le problème incompressible :
"Dans un problème temporel en dimension trois d'espace pour lequel on spécifie une condition initiale, il existe des champs de vitesse et de pression scalaire réguliers qui sont solutions des équations de Navier-Stokes".
Dans ce petit exposé, j'introduirai ces équations et les hypothèses faites sur les fluides. Dans un premier temps, nous verrons comment obtenir ces équations à partir des lois de la physique, puis nous finirons par évoquer et expliquer les deux principaux résultats historiques liés à ces équations : les théorèmes de Leray et de Fujita-Kato.
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The problem of existence and regularity of solutions of the Navier-Stokes equations constitutes one of the millenium problems of the mathematics institute Clay. These equations describe the dynamic of liquid or gaseous fluids. The problem is to prove or find a counter-example of the following proposal which summarizes the statement on the incompressible problem :
"In a time problem in dimension three of space for which an initial condition is specified, there are regular velocity and scalar pressure fields which are solutions of the Navier-Stokes equations".
In this short presentation, I will introduce these equations and the assumptions made about fluids. First, we will see how to obtain these equations from the laws of physics, then we will finally evoke and explain the two main historical results related to these equations: Leray's and Fujita-Kato's theorems.
