Un sommet du réseau $Z^d$ est dit visible depuis l'origine si le segment
de droite joignant l'origine à ce sommet intersecte le réseau en
exactement deux points (l'origine et le sommet lui-même). Cette notion a
un contenu arithmétique : $(x_1,\ldots,x_d)$ est visible depuis l'origine si et
seulement si $PGCD(x_1,\ldots,x_d)=1$.
Colorions les sommets visibles depuis l'origine en blanc et les autres
en noir. À quoi ressemble ce coloriage vu depuis un point choisi
"uniformément au hasard dans $Z^d$" ? Nous verrons qu'il est possible de
donner un sens rigoureux à cette question et d'y apporter une réponse
satisfaisante.
Le coloriage aléatoire émergeant de cette étude peut être étudié du
point de vue de la percolation. Nous verrons que, pour tout $d\ge2$, presque
sûrement, le nombre de composantes connexes blanches infinies vaut 1
tandis que le nombre de composantes connexes noires infinies vaut 0. On
présentera une démonstration de ce résultat obtenue en collaboration
avec Samuel Le Fourn et Mike Liu.
