On considère une suite aléatoire de matrices (carrées de taille $d$, pas forcément inversibles) indépendantes $(\gamma_n)_{n\in\mathbb{N}}$ distribuées selon une loi $\nu$. On s'intéresse au comportement du produit $\overline{\gamma}_n := \gamma_0 \cdots \gamma_{n-1}$ lorsque $n$ va à l'infini. Pour cela on fait trois hypothèses géométriques. Tout d'abord on veut que la distribution $\nu$ soit proximale, c'est à dire que les deux premières valeurs propres de $\overline{\gamma}_n$ n'ont pas tout le temps le même module. Ensuite on demande à ce que la distribution soit fortement irréductible c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'union finie non triviale de sous espaces propres qui soit préservée presque sûrement par l'action de $\gamma_0$. Ensuite on supposera que le produit est non nul, presque sûrement et à tout temps. On verra alors des résultats de convergence sur les colonnes de la matrice $\overline{\gamma}_n$. On verra en plus que sous certaines hypothèses sur le moment de $\nu$ on peut dire des choses sur les coefficients. Pour démontrer ces différents résultats, on utilise une méthode effective inspirée de l'étude des marches aléatoires dans les groupes hyperboliques. Notamment on démontre l'existence de la mesure invariante $\xi$ sans les outils usuels de théorie ergodique. Une fois les résultats énoncés je présenterais quelques outils utilisés pour la démonstration.
