On s'intéresse ici à deux problèmes de détection de ruptures:
(1) temps discret: la détection de ruptures dans la moyenne d’une série temporelle en présence de dépendance modélisée par un processus autoregressif d’ordre 1 et supposée non affectée par les ruptures,
(2) temps continu: la détection de ruptures dans l’intensité d’un processus de Poisson.
Pour ces deux problèmes, on se place dans un cadre fréquentiste basé sur le critère de vraisemblance. La principale difficulté concerne l’inférence des positions des instants de ruptures, à nombre de ruptures fixé, pour
des raisons différentes. Pour le problème
(1) la nature discrète des paramètres de ruptures nécessite d’explorer tout l’espace des segmentations. Il est aujourd’hui bien connu que l’algorithme de programmation dynamique (DP) permet d’obtenir la solution
exacte en un temps raisonnable. Cependant, cet algorithme ne peut être utilisé que si la quantité à optimiser est segment-additive, ce qui n’est pas le cas en présence de dépendance. Nous proposons alors
une stratégie d’inférence en deux étapes afin de pourvoir conserver l’utilisation de DP.
(2) la nature ici continue des paramètres de ruptures semblerait ne plus être un obstacle. Cependant, le contraste s’avère être non convexe (et ni même continu) par rapport aux ruptures. Ce problème a déjà été considéré dans la littérature pour la détection d’une seule rupture [1,2] où les auteurs montrent que la rupture optimale est forcément localisée à un événement ou juste avant. Nous étendons ce résultat à la détection de ruptures multiples pour une classe générale de contrastes segment-additifs et vérifiant une hypothèse de concavité par rapport aux ruptures. Le problème se réduit alors à un problème d’optimisation discret (recherche sur une grille finie) qui peut être résolu par DP.
Le second problème concerne le choix du nombre de ruptures. Pour le problème (1), nous adaptons le critère du BIC modifié [3], et pour le problème (2), nous proposons une stratégie par validation croisée.
Des études de simulations seront présentées.
[1] Li Q., Recurrent-event models for change-points detection, Ph.D. thesis, Virginia Tech, 2015.
[2] Yang T.Y. and Kuo L., Bayesian binary segmentation procedure for a poisson process with multiple change-points. Journal of Computational and Graphical Statistics (2001), 10 (4), 772–785.
[3] Zhang N. R. and Siegmund D. O., A modified Bayes Information Criterion with applications to the analysis of Comparative Genomic Hybridization data. Biometrics (2007), 63 (1), p. 22–32.
Problème (1) : en collaboration avec Souhil Chakar, Céline Lévy-Leduc et Stéphane Robin
Problème (2) : en collaboration avec Charlotte Dion et Stéphane Robin
