Fortement suggéré par la physique de la turbulence, et certainement utile pour la modélisation des marchés financiers (mais je n’en sais rien), nous nous demanderons comment définir un processus stochastique capable de rendre compte d’une régularité fractionnaire, caractérisée par un exposant H notablement plus petit que 1/2, avec d’éventuelles corrections multifractales. La difficulté réside dans la contrainte supplémentaire de définir ce processus comme une marche aléatoire, solution statistiquement stationnaire d’une équation stochastique à dérivée ordinaire, dont la construction n’est pas évidente lorsque le processus escompté est plus irrégulier que le mouvement brownien(nous introduirons pour cela une procédure de régularisation), mais qui permettra naturellement d’imposer causalité et une variance finie.La multifractalité sera quant à elle introduite par le biais d’un chaos multiplicatif, défini comme l’exponentielle d’une telle marche aléatoire d’exposant H=0, qui nécessite une attention particulière.
Un travail en collaboration avec M. Lagoin et S.G. Roux (arXiv :2011.09503)
