On s’intéresse, dans un espace métrique doublant, aux ensembles aléatoires qui ont la propriété de rencontrer presque sûrement tout compact de capacité non nulle pour une jauge donnée. Cette propriété implique une minoration a priori de la taille de l’ensemble aléatoire, et même de son intersection avec n’importe quel ensemble déterministe donné. Elle est également liée à la propriété de grande intersection de Falconer. On considèrera plus particulièrement l’exemple d’ensembles s'écrivant comme des limsup de boules aléatoires, et on montrera que la dimension de ces ensembles est liée aux propriétés multifractales d’une mesure d’intensité sous-jacente. Cela permettra de faire le lien avec des problèmes de recouvrement aléatoire comme celui de Dvoretzky, et avec l’approximation diophantienne dynamique.
