Donnés un nombre réel ξ et un entier n, l'approximation polynomiale consiste à trouver des polynômes non nuls P, à coefficients entiers et de degré au plus n, tels que |P(ξ)| soit petit en comparaison de la taille des coefficients de P. Il est possible d'associer à ξ et n un exposant mesurant la qualité de ces approximations. Le Théorème de Dirichlet assure qu'il est au moins égal à n. En 1969, Davenport et Schmidt ont montré qu'il ne pouvait pas excéder 2n-1. La meilleure borne actuelle est de la forme 2n-2 (pour n assez grand). Dans cet exposé, je m'attarderai dans un premier temps sur les aspects historiques du problème, notamment des liens qu'il entretient avec celui de l'approximation de ξ par des nombres algébriques de degré au plus n, et sur la preuve de Davenport et Schmidt. Dans un second temps, je parlerai de travaux récents conduisant à une amélioration de la majoration 2n-2.
