On dit qu'un point x dans l'espace euclidien $\mathbb{R}^n$ est approchable à l'ordre t par des rationnels s'il existe une infinité de points rationnels p/q (avec p dans Z^n et q dans N) tels que $|| x - p/q || < 1/q^t$. Jarnik a démontré en 1930 que la dimension de l'ensemble des points de R^n approchables à l'ordre t est égale à $(n+1)/t$, pour tout $t$ supérieur à $1+1/n$. À la fin de son article, Jarnik propose aussi, pour $t>2$, une construction d'un réel x approchable à l'ordre $t$, mais tel que pour tout $c<1$, l'inégalité $|x-p/q| < c/q^t$ n'ait qu'un nombre fini de solutions p/q, et demande s'il est possible de généraliser ces exemples en dimension supérieure.
Nous dirons qu'un point x dans $\mathbb{R}^n$ a la propriété d'approximation exacte à l'ordre $t$ s'il est approchable à l'ordre $t$, et si pour tout $c<1$, l'inégalité $|| x - p/q || < 1/q^t$ n'a qu'un nombre fini de solution, et noterons $E_t$ l'ensemble de ces points. Yann Bugeaud a démontré en 2003 que pour tout $t>2$, la dimension de $E_t$ est égale à $2/t$. Tout comme la construction de Jarnik, la démonstration de Bugeaud est basée sur les fractions continues, et ne semble pas à première vue s'étendre à la dimension supérieure. Le but de cet exposé sera d'expliquer comment des idées de géométrie paramétrique des nombres, introduites par Schmidt et Summerer, puis développées notamment par Roy et Das-Fishman-Simmons-Urbański, permettent de généraliser le résultat de Bugeaud en toute dimension $n$ : $\mathrm{dim}\ E_t = (n+1)/t$ pour tout $t$ supérieur à $1+1/n$.
Travail en commun avec Prasuna Bandi.
