Au début des années 1980, Bárány a montré qu'il existe une constante c_d telle que pour tout ensemble de points $P$ dans $\mathbb R^d$, il existe un point $b$ in $\mathbb R^d$ t.q. une fraction d'au moins $c_d$ des $(d+1)$-tuples de points de $P$ contient $b$ dans son enveloppe convexe. À la fin des années 80, Pach a prouvé une version chromatique de ce théorème : il existe une constante $c_d’$, telle que pour tout famille de $d+1$ ensembles $P_0, P_1, ..., P_d$, il existe un point $p$ in $\mathbb R^d$ et des sous-ensembles $A_i \subset P_i$, de taille $|A_i|>c_d'|P_i|$, tels que tout $(d+1)$-tuple “arc-en-ciel”, i.e. $a_0 \in A_0, a_1 \in A_1, ..., a_d \in A_d$, contient $p$ dans son enveloppe convexe. En 2010 Gromov a prouvé une version topologique du théorème de Bárány. Dans cet exposé j'expliquerai l'analogue topologique du théorème de Pach (la version “arc-en-ciel” du théorème de Gromov).
