On dit que $\mu$ est la mesure moment d'une fonction convexe $\Psi:\mathbb R^n\to\mathbb R^n\cup\{+\infty\}$ si $\mu$ est la mesure image de la densité $e^{−\Psi}$ par $\nabla\Psi$. Dans un papier récent, Cordero-Erausquin et Klartag donnent une caractérisation variationnelle des mesures $\mu$ qui sont des mesures moment non triviales (après avoir fixé une classe de fonctions $\Psi$ convenables, selon leurs propriétés de continuité). Nous allons revisiter cette notion, avec des méthodes explicitement de transport optimal : on va analyser une fonctionnelle, faisant intervenir l'entropie et les distances de Wasserstein à $\mu$, dont le problème de minimisation est bien posé sous les mêmes conditions sur $\mu$ trouvées par Cordero-Erausquin et Klartag, et telle que le minimiseur $\rho$ est de la forme $\rho=e^{−\Psi}$ avec $\mu=(\nabla\Psi)_\#\rho$, ce qui permet de revoir les mêmes résultats sous un autre angle, en remplaçant des inégalités fonctionnelles par des notions de transport.
