Dans cet exposé, j'expliquerai comment l'inégalité de Sobolev (sur des variétés riemanniennes compactes) peut être vue comme une conséquence de la convexité par déplacement de l'entropie de Rényi le long de son flot-gradient dans l'espace de Wasserstein. Pour cela, j'introduirai le calcul d'Otto, qui permet de comprendre des calculs parfois un peu obscurs dans les papiers historiques sur le sujet, et qui promet par conséquent des généralisations à d'autres inégalités du même type, comme celle de Caffarelli-Kohn-Nirenberg, dont la symétrie des maximiseurs a été démontrée en 2016 par des méthodes de flots (Dolbeault-Esteban-Loss).
