Dans cet exposé, nous nous concentrerons sur des modèles d'urnes avec deux couleurs (bleues et vertes). Nous considèrerons d'abord le modèle originel suivant : partant d'une composition initiale (où il y a au moins une boule de chaque couleur), on tire une boule uniformément dans l'urne avec remise et on ajoute une boule de la même couleur. On itère le processus jusqu'à l'infini. Que peut-on dire de la composition asymptotique de cette urne ?
Nous regarderons par la suite des variantes où l'on modifiera de façon déterministe la règle d'ajout des boules (sans remise, ajout d'une couleur différente ou de plusieurs couleurs, de plusieurs boules, etc.)
Nous étudierons ensuite le cas d'ajout stochastique de boules dans cette urne avec tirage uniforme. Ceci a été motivé par des applications en essais cliniques et finance, et peut être résolu plus efficacement grâce à des algorithmes stochastiques sur la dynamique des proportions de boules dans l'urne.
Nous terminerons cet exposé par une dernière généralisation : le tirage ne sera plus uniforme, mais sera modifié par une fonction convexe ou concave. Ceci nous permettra d'exhiber une transition de phase (dans le cas convexe) passant d'un équilibre vers plusieurs (dont le nombre dépend de la fonction). Pour le nombre de boules supérieur à 2, des travaux sont en cours.
