Dans cet exposé, je commencerai par introduire le domaine de l’optimisation de forme, qui consiste à étudier les problèmes d’optimisation dont l’inconnue est un domaine de $\mathbb R^n$ et dont les applications oscillent entre géométrie, EDP et modélisation. On se focalisera ensuite sur le cas où on optimise parmi les domaines convexes, ce qui amène des considérations assez originales par rapport aux cas habituels. Je citerai en particulier de nombreux exemples issus de branches très variées, comme le problème de résistance minimale de Newton, la conjecture de Mahler, et la conjecture de Polya-Szego. On exhibera un phénomène commun aux solutions de ces problèmes, à savoir une saturation de la contrainte de convexité (la courbure de Gauss veut s’annuler autant que possible).
