Parmi les documents annexes à seconde édition latine de la Géométrie de Descartes (1659-1661) il y a deux lettres de Johannes Hudde, datées respectivement des ides de juillet 1657 et du 6 février 1658. La seconde concerne le problème des maxima et minima. Son but est de présenter une nouvelle méthode pour résoudre ce problème, applicable en toute situation où la relation entre la grandeur dont on cherche un extremum et la variable choisie comme principale est exprimée par une expression algébrique.

Cette méthode est fondée sur celle qui deviendra ensuite célèbre comme la règle de Hudde, une règle qui jouera quelques années plus tard un rôle fondamental dans les recherches qui conduisirent Newton au calcul des fluxions. On montrera comment la méthode de Hudde permet de donner une forme stable à l'algorithme suggéré par la méthode des tangentes de Descartes (cf. le conférence de S. Maronne), et conduit de ce fait à l’algorithme du calcul infinitésimal pour des fonctions algébriques quelconques, que Newton ne découvrira à son tour (de manière indépendante) qu’en 1665.

Quand on prend le mot « algorithme » dans ses différentes usages au XVIIe et au XVIIIe siècles, on voit que « algorithme » peut couvrir plusieurs choses à la fois. On a « algorithme », comme dans algorithme décimale, "système de notation" ; algorithme, comme dans "algorithmus calculi", "système de calcul"; et finalement, algorithme veut aussi dire ce que ce mot signifie aujourd’hui, une séquence déterminée d’opérations mathématiques simples. Ce qui semble unir ces trois aspects, c'est qu'on a une représentation spécifique de données avec un ensemble d'opérations sur cette représentation. Une différenciation entre les trois aspects du mot, la préférence d'identifier "algorithme" avec le troisième aspect, et la perte de l'aspect "représentation" semblent s'imposer dès les débuts du XIXe siècle. Par des citations de divers auteurs autour de 1800 en Allemagne (Lambert, Béguelin, Hindenburg, Gauss), on essaiera de retracer cette différenciation et ce glissement sémantique du mot « algorithme ».

La méthode des normales de Descartes se fonde sur l'identification à l'aide de la méthode des coefficients indéterminés de l'équation résultante de l'équation de la courbe et de l' « équation » d'un cercle à une équation à racine double. Cela exprime le fait que la normale peut être vue comme le rayon d'un cercle tangent à la courbe au point considéré qui est un point double d'intersection. Je montrerai que la méthode des normales s'appuie partiellement sur un algorithme.

Dans cette intervention j’analyserai la rencontre entre les traditions mathématiques algorithmiques en Chine et les mathématiques “occidentales” suite à l’arrivée des premiers Pères Jésuites à la fin du XVI^e siècle, missionnaires venus pour évangéliser l’Empire du Milieu. Accompagnée d’un discours religieux et philosophique, cette rencontre aura une influence sur les lettrés chinois à plusieurs niveaux : certains s’intéressent de nouveau – d’un point de vue scientifique mais aussi philologique – à leurs propres traditions mathématiques qui étaient partiellement tombées dans l’oubli, d’autres s’orientent vers les méthodes nouvellement introduites en se justifiant par un discours sur "l’origine chinoise des sciences occidentales" (Xixue Zhongyuan). A l'aide d’un exemple de la géométrie plane, nous verrons en particulier les problèmes liés à l’intégration de la géométrie euclidienne, son approche axiomatique et déductive, dans le contexte des traditions algorithmiques en Chine. Les processus et différentes approches de la traduction et de l’assimilation des sciences “occidentales” dans le monde chinois illustrent ainsi la question de l’interculturalité dans les sciences mathématiques.

La conférence commencera par évoquer les sources des premières pratiques algorithmiques apparues dans la tradition mathématique arabe. Dans une seconde partie, elle présentera les différents types d'algorithmes en relation avec les domaines dans lesquels ils sont intervenus (science du calcul, algèbre, trigonométrie, géométrie), ainsi que les problèmes techniques et théoriques qui sont apparus à l'occasion du développement de ces pratiques algorithmiques.

Diophante d'Alexandrie est l'auteur des Arithmétiques, un recueil de problèmes mathématiques, ordonnés suivant la complexité croissante de leurs solutions. Dans la préface de l'ouvrage, Diophante explique que cette stratégie de résolution suit une voie particulière dont il énonce certains principes. Cette voie a parfois été interprétée comme une méthode algébrique avant la lettre. Pourtant, l'analyse du texte montre que ce que Diophante propose est d'une nature nettement différente de ce que proposeront les premiers auteurs arabes de traités d'algèbre. A partir d'exemples choisis, nous tâcherons donc de comprendre ce qu'est cette voie telle que Diophante l'expose, aussi bien dans la préface que dans la suite elle-même des problèmes. On verra, en particulier, que certaines solutions passe par l'énonciation de procédures ambiguës, c'est-à-dire susceptibles de plusieurs niveaux de lecture.