Tout un corpus de géométrie, parfois dit “pratique”, a été attribué à Héron, l'auteur des Metrica, qui valident les procédures de mesures des aires et des volumes des principales espèces de figures géométriques. Nous comparerons quelques Propositions des Metrica et certains problèmes des recueils anonymes qu'on lui a faussement attribués.
La littérature mathématique sous forme de recueils de problèmes exposant des procédures de résolution (numériques) dans différents contextes est très ancienne : on la trouve en Mésopotamie, en Egypte, dès le deuxième millénaire avant notre ère (et sans doute bien avant), plus tard en Grèce ancienne, dans la Chine et l'Inde antiques. En Grèce, elle s'est développée à côté d'autres styles mathématiques, par exemple démonstratifs, interagissant parfois avec elle (notamment chez Héron et Diophante d'Alexandrie dans les premiers siècles de notre ère).
Nous examinerons quelques exemples mésopotamiens et grecs anciens pour décrire sommairement les traits spécifiques de ce style, mais aussi la variété d'emplois que l'on peut repérer dans la littérature mathématique ancienne.
Cette thèse est consacrée à l'étude de certaines questions de convergence et de récurrence multiples en théorie ergodique. Nous distinguons les systèmes munis d'une transformation et ceux munis de plusieurs transformations qui commutent. Dans les premiers, le mécanisme de facteurs caractéristiques et les nilsystèmes jouent un rôle important dans l'étude de convergence et de récurrence multiples. À l'aide de ces outils, nous étendons les résultats sur la convergence de moyennes ergodiques multiples pondérées de Host et Kra pour le cas linéaire au cas polynômial. En conséquence, nous montrons que pour toute fonction $f$ mesurable bornée sur un système ergodique, la suite $(f(T^n x))$ est universellement bonne pour presque tout $x$. Quand il y a plusieurs transformations qui commutent, à l'aide de la machinerie des systèmes magiques introduite récemment par Host et développée dans cette thèse, nous étendons les résultats sur la convergence de moyennes ergodiques multiples sur les cubes de Host et Kra avec une transformation à plusieurs transformations qui commutent. Nous obtenons aussi un résultat de récurrence multiple quantitatif pour deux transformations qui commutent, similaire en faveur du cas d'une transformation établi par Bergelson, Host et Kra.
Diophante d’Alexandrie est l’auteur des Arithmétiques, un recueil de problèmes mathématiques ordonnés suivant la complexité croissante de leurs solutions et d'un court traité des Nombres polygones dans lequel Diophante propose une caractérisation de ces nombres en fonction du “côté” et du nombre de sommets. Dans cette conférence, nous analyserons la formulation et la mise en œuvre très codifiée de certaines procédures de calcul dans le traité des Nombres polygones de Diophante.
