Dans cet exposé, je parlerai d'espaces métriques à courbure minorée au sens d'Alexandrov. D'un point de vue analytique, on peut considérer ces espaces comme des variétés riemanniennes ouvertes, à un lieu singulier près. Je m'intéresserai à la régularité de ces métriques riemanniennes et donnerai un résultat dans le cas des surfaces. Si le temps le permet, j'aborderai aussi des résultats partiels valables en dimension supérieure.

Une partie des résultats a été obtenue en collaboration avec L. Ambrosio (SNS Pisa).