Nous étudions une classe L de fonctions de degré un du cercle, supposées de classe C^2 à l'exception de deux points où seule la continuité est exigée, et telles qu'elles soient constantes sur un des intervalles délimité par ces derniers. De plus sur des demi voisinages ouverts de ces points elles s'écrivent sous la forme x^l où l est un nombre réel positif appelé l'exposant critique de la fonction.

Nous montrons pour la sous-classe de L des fonctions dont le nombre de rotation est de type fini, l'existence d'une transition dans la géométrie du système lorsque l'exposant critique traverse 2. Cet résultat nous a permit de donner un exemple d'un flot de Cherry sur le tore avec ensemble quasi-minimal métriquement non-trivial.

Le cas plus général de fonctions en L avec nombre de rotation infini est ainsi considéré. Il devient pourtant plus délicat d'émettre des conjectures; on rencontre parfois des surprises dues à la présence de phénomènes paraboliques.