Je vais présenter mon travail sur une famille de systèmes dynamiques qui est heuristiquement liée à un billard sur un parallélogramme. Cette famille est définie sur le cylindre discret $\mathbb T^1\times \mathbb Z$ où $\mathbb T^1={\mathbb R/\mathbb Z}$ est le tore unidimensionnel (c'est à dire le cercle). Pour toute suite bi-infinie $\underline\alpha\in\mathbb T^\mathbb Z$, nous définissons la transformation $F_{\underline\alpha}$ presque partout sur ​​le cylindre comme suit:
$$F_{\underline\alpha}\left([x]_\mathbb
Z,n\right)=\left([x+\alpha_n]_\mathbb Z, n+\left\{\begin{array}{rcl} 1 & if
& x+\alpha_n\in (0,\frac12)+\mathbb Z\\ -1 & if & x+\alpha_n\in
(-\frac12,0)+\mathbb Z\\ \end{array}\right. \right).$$
Quand la suite $\underline\alpha$ est constante et irrationnelle, Conze et Keane ont montré que $F_{\underline\alpha}$ est ergodique. J'essaie de comprendre ce que sont les propriétés typiques de $F_{\underline\alpha}$ dans un certain sens. À savoir, quelles sont les propriétés satisfaites pour presque tout $\underline\alpha$ ou pour $\underline\alpha$ générique dans l'espace des paramètres? Pour le moment, j'ai prouvé que la conservativité est à la fois générique et presque sure, alors que la minimalité est générique. Je voudrais comprendre également les propriétés de diffusion de cette famille.