Systèmes hyperboliques partiellement dissipatifs et application à la mécanique des fluides

Orateur: Timothée CRIN-BARAT
Type: Thèse
Directeur: Raphaël DANCHIN
Site: UPEC
Salle: BM 006, Faculté des Sciences
Date de début: 13/12/2021 - 14:30
Date de fin: 13/12/2021 - 18:30

Membres du jury :

Directeur de thèse: Raphaël Danchin (Université Paris-Est Créteil)
Rapporteuse: Karine Beauchard (ENS Rennes)
Rapporteur: Jean-François Coulombel (Université Toulouse-III)
Examinatrice: Sylvie Benzoni-Gavage (Université Claude-Bernard Lyon 1)
Examinateur: Didier Bresch (Université Savoie Mont-Blanc)
Examinateur: Roberto Natalini (IAC - CNR, Rome)
Examinateur: Denis Serre (Ecole Normale Supérieure de Lyon)

Résumé :

Cette thèse est consacrée à l’étude de la classe des systèmes hyperboliques partiellement dissipatifs satisfaisant la condition de stabilité de Shizuta-Kawashima (souvent appelée “condition (SK)”) et à un modèle multi-fluide compressible proche de cette classe mais ne vérifiant pas cette condition, le tout dans un cadre à régularité critique.

Dans sa thèse datant des années 80, Kawashima a découvert un critère systématique (la condition (SK)) assurant l’existence de solutions globales pour des systèmes partiellement dissipatifs et/ou diffusifs. Ce critère a été récemment revisité par Beauchard et Zuazua qui ont fait le lien avec la notion d’observabilité en théorie du contrôle, et ont pu démontrer l’existence globale de solutions dans des situations qui n’étaient pas couvertes par Kawashima. Pour cela, inspirés par la théorie de l’hypo-coercivité de Villani, ils ont construit des fonctionnelles de Lyapunov  comprenant des termes d’ordres inférieurs.

Dans la première partie de cette thèse nous établissons l’existence de solutions globales-en-temps pour de petites données initiales dans des espaces de Besov homogènes critiques, puis nous justifions la convergence en temps grand vers des états stationnaires stables avec un taux de convergence algébrique. Pour cela, nous reprenons les arguments de Beauchard et Zuazua directement sur le système localisé en fréquences grâce à la décomposition de Littlewood-Paley et au calcul paradifférentiel, et nous analysons les basses fréquences de manière approfondie. Un point clé de notre analyse est la mise en lumière d’un mode purement amorti en basses fréquences qui nous permet d’obtenir des estimations plus précises que celles que l’on obtient avec la théorie de Kawashima. Cela nous permet de conclure que le système est globalement bien posé puis, dans le cas particulier du système d’Euler compressible amorti, de montrer la convergence vers l’équation des milieux poreux lorsque le coefficient d’amortissement tend vers l’infini. Pour ce problème, nous justifions la convergence forte globale-en-espace et dérivons un taux de convergence explicite dans le cadre multi-dimensionnel.

Dans la deuxième partie de cette thèse nous nous intéressons au caractère globalement bien posé et à la relaxation d’un écoulement compressible biphasique proche de la classe étudiée précédemment mais ne vérifiant pas la condition (SK) et n’étant pas symétrique. Plus précisément, nous démontrons l’existence de solutions dans des espaces de Besov homogènes critiques pour un système de Baer-Nunziato amorti et nous justifions la convergence forte de ces solutions, lorsque le paramètre de viscosité tend vers 0, vers un système de Kapila tout en dérivant un taux de convergence explicite pour le processus de relaxation. Le système initial ne satisfaisant pas la condition (SK), nous le reformulons en un couplage entre un sous-système vérifiant la condition (SK) et une équation de transport, de telle sorte que les termes de couplage soient inoffensifs.
Et, pour compenser le manque de symétrie, nous considérons une fonctionnelle de Lyapunov à poids non-linéaires.