Cette thèse est consacrée aux surfaces minimales dans certains espaces homogènes riemanniens de dimension $3$. Dans une première partie, nous considérons la variété homogène riemannienne $PSL_2(\mathbb{R})$ qui peut encore être considéré comme $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R} = \{(x, y, z) \in\mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 < 4\}$ munie de la métrique $ (dx^2 + dy^2) + (x. (ydx- xdy) + dz) 2$ où,\= 4 (oc}+y')" Nous construisons des anneaux plongés complets dont le bord se compose de $4$ droites verticales sur le bord à l'infini de $\mathbb{H}^2 \times\mathbb{R}$. De plus, ces anneaux sont asymptotiques à deux surfaces minimales verticales de $PSL_2 (\mathbb{R})$. Ces anneaux sont construits en prenant la limite d'une suite d'anneaux minimaux compacts. L'ingrédient principal de cette démonstration est d'estimer la courbure des suites d'anneaux minimaux compacts, basé sur le contrôle de l'espace tangent en utilisant les feuilletages minimaux de $PSL_2(\mathbb{R})$. Dans une seconde partie, nous étudions le problème de Dirichlet pour l'équation des surfaces minimales dans $Sol_3$ avec des données à bord peut être infinies où $Sol_3$ est un groupe de Lie non-abélien résoluble de dimension $3$ muni d'une métrique invariante à gauche qui en fait un modèle de l'une des huit géométries de Thurston. Notre résultat est un théorème de type Jenkins-Serrin qui établit les conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence et l'unicité de certains graphes de Killing dans $Sol_3$, où le champ de vecteur de Killing est non-unitaire.
