Sommes fractales de pulses : étude dimensionnelle et multifractale des trajectoires, et simulations

Orateur: Guillaume SAËS
Type: Thèse
Directeur: Stéphane JAFFARD , Stéphane SEURET
Site: UPEC
Salle: Salle BM 006, Faculté des sciences et technologie Campus Centre - Bâtiment P 61, av. du Général de Gaulle 94010 Créteil.
Date de début: 09/12/2021 - 14:00

Composition du jury proposé
M. Stéphane JAFFARD - Université Paris-Est Créteil - Directeur de thèse
M. Yanick HEURTEAUX - Université Clermont Auvergne - Rapporteur
M. Stéphane SEURET - Université Paris-Est Créteil - Co-directeur de thèse
Mme Céline LACAUX - Université d'Avignon - Rapporteure
M. Patrice ABRY - Ecole Normale Supérieure de Lyon - Examinateur
M. Samuel NICOLAY - Université de Liège - Examinateur
Mme Céline ESSER - Université de Liège - Examinatrice
M. Karl GROSSE-ERDMANN - Université de Mons - Examinateur

Résumé :
Les deux grandes classes de processus dont l'analyse multifractale a été réalisée sont les processus multiplicatifs (issus des cascades de Mandelbrot) et les processus additifs (processus de Lévy, séries aléatoires d'ondelettes et leurs généralisations). Une classe importante de processus se rattache à cette seconde catégorie : les "sommes de pulses aléatoires". Il s'agit de séries aléatoires où l'on somme des translatées-dilatées d'un "pulse" qui peut avoir une forme arbitraire. Les paramètres de translation, dilatation et d'amplitude peuvent être aléatoires (ou certains peuvent être reliés entre eux de façon déterministe). Des cas particuliers de ce modèle ont été introduits par Lovejoy et Mandelbrot pour modéliser la pluviométrie en un point donné, puis des extensions ont été proposées par Ciosek-Georges, Taqqu, Mandelbrot, ... Enfin, Y. Demichel, dans sa thèse, a étudié des aspects fractals des trajectoires de tels processus. Certaines propriétés de base de ces processus ont été étudiées (existence, continuité, intégrabilité, dimension de graphe, régularité globale des trajectoires au sens Besov ou Sobolev); cependant, malgré quelques travaux mathématiques déjà existants, de nombreuses questions sont encore ouvertes. Le but de la thèse sera d'introduire un modèle plus général que ceux qui ont été abordés dans le passé, et d'en effectuer également l'analyse multifractale, c'est à dire déterminer la régularité ponctuelle presque sûre des trajectoires. Celle-ci pourra être prise au sens de la régularité hölderienne usuelle quand les trajectoires sont localement bornées, ou au sens de $p$-exposant dans le cas contraire. La thèse se conclut par une partie appliquée : simulation des trajectoires et l'étude du formalisme multifractal pour les sommes de pulses aléatoires. Enfin, on s'intéressera en particulier de données physiologiques de coureurs marathoniens fournies par V. Billat et ses équipes.