La modélisation de bassins sédimentaires et de réservoir est de plus en plus utilisée par les compagnies pétrolières pour conduire leurs activités d'exploration afin d'en réduire les risques et les coûts. La modélisation de bassins sédimentaires vise à simuler, à des échelles de temps et d'espaces géologiques, la migration de l'huile et du gaz dans un bassin sédimentaire afin de prédire la localisation, la qualité et la quantité d'huile piégée dans le réservoir. La modélisation de réservoir quant à elle a pour but d'optimiser l'emplacement des puits et de prédire la production d'un réservoir.
La modélisation de l'injection et du stockage du CO2 joue aussi un rôle important, notamment pour l'étude des mécanismes d'écoulement, la caractérisation des sites et l'étude de la sécurité à long terme du stockage.
Ces trois exemples (simulation de la migration des hydrocarbures, simulation de leur production, simulation de l'enfouissement du CO2) illustrent le besoin de pouvoir simuler des écoulements darcéens multiphasiques de fluides en milieux poreux et hétérogènes c'est à dire simuler l'écoulement de fluides (huile, gaz) dans des milieux poreux (bassins sédimentaires) où se sont accumulées pendant des dizaines de millions d'années des couches superposées de différentes roches (des sables, des carbonates ou des dolomites) tout en permettant de connaître la qualité et la quantité de fluides présents dans le bassin.
La précision de ces simulations dépend de la qualité des données, de la représentation des phénomènes physiques, de l'efficacité des algorithmes numériques. Une simulation numérique efficace exige dès lors de concevoir des schémas de discrétisation précis et robustes. Pour cela, le maillage doit décrire exactement les caractéristiques stratigraphiques et structurales complexes du bassin telles que les couches stratigraphiques hétérogènes, les canaux, les érosions et les failles. Ces caractéristiques géologiques conduisent à de fortes hétérogénéités et à de grands rapports d'anisotropie du champ de perméabilités. Un ingrédient principal du schéma de discrétisation est la discrétisation du flux de diffusion intervenant dans la loi de Darcy qui régit les écoulements en milieux poreux donné en fonction de la pression et du champ de perméabilité. Pour toutes ces raisons, le schéma de discrétisation doit s'adapter à des maillages polyédriques généraux et à des tenseurs de perméabilités pleins présentant de fortes hétérogénéités, de grand rapports d'anisotropie et non alignés avec les directions du maillage. Dans ce contexte, l'approximation des flux de diffusion par le schéma à deux points couramment utilisé dans la plupart des simulateurs commerciaux conduit à de grandes erreurs numériques.
Les objectifs de notre travail se sont inscrits dans la recherche de schémas de discrétisations volumes finis présentant les caractéristiques suivantes : linéarité des flux en fonction des inconnues, conservativité des flux, (c'est le principe de base des méthodes de volumes finis), consistance des flux, stabilité c'est à dire que la solution doit être bornée pour une certaine norme, stencil compact des flux pour réduire les communications dans les implémentations parallèles.
Pour un certain nombre de schémas présentés dans la littérature, il n'existe pas de preuve mathématique de leur convergence. Nous avons examiné de telles preuves dans le cas de maillages généraux avec des hypothèses habituelles de régularité de forme, et de champs de perméabilités hétérogènes anisotropes discontinues ayant des valeurs propres uniformément bornées par au-dessus et en-dessous.
Pour répondre à cette recherche, nous avons proposé plusieurs schémas volumes finis tels que les schémas MPFA O généralisé, G scheme, CG method, VFSYM et DIOPTRE. Les résultats originaux apportés dans cette thèse sont : l'introduction de nouveaux schémas volumes finis; l'introduction d'un cadre mathématique pour l'analyse des schémas volumes finis inspiré de celui introduit par Eymard, Gallouët, Herbin; l'extension du résultat de convergence aux schémas non symétriques; l'introduction d'un nouvel espace de fonctions tests dans H10 permettant de simplifier les preuves et l'obtention d'une estimation d'erreur.
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