Propagation non-linéaire de paquets d'onde

Orateur: Lysianne HARI
Type: Thèse
Directeur: Clotilde FERMANIAN-KAMMERER , DUYCKAERTS Thomas
Site: UPEC
Salle: Amphithéâtre colloques, Université de Cergy-Pontoise
Date de début: 25/09/2014 - 11:00
Date de fin: 25/09/2014 - 12:00

Les résultats présentés dans cette thèse concernent l'étude, dans la limite semi-classique $\varepsilon \rightarrow 0$, de systèmes d'équations de Schrödinger non-linéaires couplées. Selon le potentiel considéré, le système peut, ou non, présenter un couplage linéaire, en plus de celui induit par le terme non-linéaire. Dans ce manuscrit, c'est la propagation d'états cohérents - états localisés dans l'espace des phases, et que l'on va faire vivre dans un niveau d'énergie donné - qui va nous intéresser.

Dans le cadre linéaire, plusieurs situations ont été étudiées, certaines préservant l'adiabaticité, et d'autres la brisant, faisant apparaître des transitions entre les niveaux d'énergie. Le rôle de la non-linéarité et l'interaction de ses effets avec un éventuel couplage linéaire sur ces phénomènes est une question importante pour comprendre des systèmes qui entrent en jeu dans des problèmes très actuels en physique quantique.

Dans un premier temps, le potentiel pris en compte aura des valeurs propres bien séparées par un trou spectral, et nous montrerons un théorème adiabatique pour une non-linéarité qui présente un exposant critique pour le paramètre semi-classique devant la non-linéarité. Un point de vue équivalent est de considérer des données petites de l'ordre d'une puissance positive du paramètre semi-classique. Il s'agit d'un résultat analogue à celui de Carles et Fermanian-Kammerer mais dans un cadre sur-critique $L^2$.

Dans un deuxième temps, nous considèrerons, pour le cas unidimensionnel, un potentiel explicite de taille $2 \times 2$, qui présente un croisement évité : les deux valeurs propres sont séparées par un paramètre $\delta$ - paramètre adiabatique - qui va tendre vers zéro lorsque $\varepsilon$ va tendre vers zéro. Nous montrerons alors que des transitions entre les modes ont lieu. Il s'agit ici d'une version non-linéaire des travaux d'Hagedorn et Joye où une telle transition est démontrée pour des systèmes linéaires.

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