Cette thèse est dédiée à l’analyse de quelques problèmes variationnels motivés par le modèle de Ginzburg-Landau en supraconductivité. Dans la première partie on étudie l’existence de solutions pour les équations de Ginzburg-Landau sans champ magnétique et avec données au bord de type semi-rigides. Ces données consistent à prescrire le module de la fonction sur le bord du domaine ainsi que son degré topologique. Ici la méthode directe du calcul des variations ne peut pas s’appliquer car le degré n’est pas continu pour la convergence faible dans l’espace de Sobolev adapté. On dit que c’est un problème sans compacité : un phénomène de “bubbling” apparaît.
Dans le Chapitre 1 on étudie des conditions sous lesquelles la différence entre deux niveaux d’énergie est strictement optimale. Pour cela on adapte une technique due à Brezis-Coron. Ceci nous permet de redémontrer un résultat (précédemment obtenu par Berlaynd Rybalko et Dos Santos) d’existence de solutions stables pour les équations de Ginzburg-Landau dans des domaines multiplement connexes.
Dans le Chapitre 2 on considère les applications harmoniques à valeurs dans $\mathbb{R}^2$ avec des conditions au bord de type degrés prescrits sur un anneau. On fait un lien avec la théorie des surfaces minimales dans $\mathbb{R}^3$ grâce à la différentielle de Hopf. Ceci nous conduit à l'étude des surfaces minimales bordées par deux cercles dans des plans parallèles. On prouve l’existence de telles surfaces qui ne sont pas des caténoïdes grâce à un résultat de bifurcation.
On utilise alors les résultats obtenus pour déduire des théorèmes d’existence et de non existence de minimiseurs de l’énergie de Ginzburg-Landau à degrés prescrits dans un anneau. Dans ce troisième Chapitre on obtient des conclusions pour $\epsilon$ grand.
Le Chapitre 4 est dédié aux problèmes à degrés prescrits en dimension $n \ge 3$. On y montre la non existence des minimiseurs de la $n$-énergie de Ginzburg-Landau dans un domaine difféomorphe à une boule. On étudie ensuite des points critiques de type min-max pour une énergie perturbée.
La deuxième partie est consacrée à l’analyse asymptotique des solutions des équations de Ginzburg-Landau lorsque $\epsilon$ tend vers zéro. Sandier et Serfaty ont étudié le comportement asymptotique des mesures de vorticité associées aux équations. Ils ont notamment trouvé des conditions critiques sur les mesures limites dans le cas des équations avec et sans champ magnétique. Nous nous intéressons alors à ces conditions dans le cas sans champ magnétique. Le problème de la régularité des mesures limites se ramène ainsi à l’étude de la régularité des fonctions stationnaires harmoniques dont le Laplacien est une mesure. Nous montrons que localement de telles mesures sont supportées par une union de lignes appartenant à l’ensemble des zéros d’une fonction harmonique.
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