Une inégalité systolique sur une variété fermée M de dimension n est une inégalité de la forme $sys^n (M, g) ≤ C · vol(M, g)$ valable pour toute métrique riemannienne g sur M , où sys(M, g) désigne la systole et C = C(M ) est une constante indépendante de g. Les inégalités systoliques les plus célèbres ont été démontrées sur le tore T^2 par C. Loewner, sur le plan projectif réel RP^2 par P. Pu et sur la bouteille de Klein K^2 par C. Bavard. On établit dans cette thèse de nouvelles inégalités systoliques optimales sur des surfaces. Dans un premier travail, on démontre l’existence d’une borne supérieure optimale pour la longueur de la plus courte géodésique fermée sur la sphère trouée avec trois ou quatre bouts munie d’une métrique riemannienne complète d’aire finie. Cette borne ne dépend pas de la courbure mais de l’aire de la sphère trouée. On décrit, dans les deux cas, les métriques extrémales. On établit ensuite des bornes pour les sphères trouées munies d’une métrique finslérienne réversible ou non-nécessairement réversible. Ces bornes sont exprimées en fonction de l’aire de Holmes-Thompson de la sphère trouée. On représente aussi une borne supérieure asymptotique sur la longueur de la plus courte géodésique pour des sphères avec un grand nombre de bouts. Dans un deuxième travail, on démontre que le supremum local de la systole sur l’espace des surfaces d’Alexandrov à courbure au plus −1 est atteint par une surface hyperbolique. Ceci sans aucune hypothèse sur l’aire. On termine par une extension de ce résultat pour des variétés de dimension 3.
