Estimation de processus de sauts

Orateur: Thi-Thu-Huong NGUYEN
Type: Thèse
Directeur: Emmanuelle CLÉMENT , GLOTER Arnaud
Site: UPEM

Dans cette thèse, on considère une équation différentielle stochastique gouvernée par un processus de Lévy de saut pur dont l’indice d’activité des sauts $\alpha\in (0, 2)$ et on observe des données haute fréquence de ce processus sur un intervalle de temps fixé. Cette thèse est consacrée tout d’abord à l’étude du comportement de la densité du processus en temps petit. Ces résultats permettent ensuite de montrer la propriété LAMN (Local Asymptotic Mixed Normality) pour les paramètres de dérive et d’échelle. Enfin, on étudie des estimateurs de l’indice $\alpha$ du processus.

La première partie traite du comportement asymptotique de la densité en temps petit du processus. Le processus est supposé dépendre d’un paramètre $\beta = (\theta,\sigma)^T$ et on étudie, dans cette partie, la sensibilité de la densité par rapport à ce paramètre. Cela étend les résultats de Clément et Gloter qui étaient restreints à l’indice $\alpha\in (1,2)$ et ne considéraient que la sensibilité par rapport au paramètre de dérive. En utilisant le calcul de Malliavin, on obtient la représentation de la densité, de sa dérivée et de sa dérivée logarithmique comme une espérance et une espérance conditionnelle. Ces formules de représentation font apparaître des poids de Malliavin dont les expressions sont données explicitement, ce qui permet d’analyser le comportement asymptotique de la densité en temps petit, en utilisant la propriété d’autosimilarité du processus stable.

La deuxième partie de cette thèse concerne la propriété LAMN (Local Asymptotic Mixed Normality) pour les paramètres. Le coefficient de dérive et le coefficient d’échelle dépendent tous les deux de paramètres inconnus et on étend les résultats de Clément et Gloter. On identifie l’information de Fisher asymptotique ainsi que les vitesses optimales de convergence. Ces quantités dépendent de l’indice $\alpha$.

La troisième partie propose des estimateurs pour l’indice d’activité des sauts $\alpha\in (0,2)$ basés sur des méthodes de moments qui généralisent les résultats de Masuda. On montre la consistance et la normalité asymptotique des estimateurs et on illustre les résultats par des simulations numériques.