Dans cette thèse, nous nous intéressons à deux modèles de feux de forêts définis sur $\mathbb Z$.
On étudie le modèle des feux de forêts sur $\mathbb Z$ avec propagation non instantanée dans le chapitre 2. Dans ce modèle, chaque site a trois états possibles : vide, occupé ou en feu. Un site vide devient occupé avec taux $1$. Sur chaque site, des allumettes tombent avec taux $\lambda$. Si le site est occupé, il brûle pendant un temps exponentiel de paramètre $\pi$ avant de se propager à ses deux voisins. S’ils sont eux-mêmes occupés, ils brûlent, sinon le feu s’éteint. On étudie l’asymptotique des feux rares c’est à dire la limite du processus lorsque $\lambda\to 0$ et $\pi\to\infty$. On montre qu’il y a trois catégories possibles de limites d’échelles, selon le régime dans lequel $\lambda$ tend vers $0$ et $\pi$ vers l’infini.
On étudie formellement et brièvement dans le chapitre 3 le modèle des feux de forêts sur $\mathbb Z$ en environnement aléatoire. Dans ce modèle, chaque site n’a que deux états possibles : vide ou occupé. On se donne un paramètre $\lambda > 0$, une loi $\nu$ sur $(0 , \infty)$ et une suite $(\kappa_i )_{i\in\mathbb Z}$ de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées selon $\nu$. Un site vide $i$ devient occupé avec taux $\kappa_i$ . Sur chaque site, des allumettes tombent avec taux $\lambda$ et détruisent immédiatement la composante de sites occupés correspondante. On étudie l’asymptotique des feux rares. Sous une hypothèse raisonnable sur $\nu$, on espère que le processus converge, avec une renormalisation correcte, vers un modèle limite. On s’attend à distinguer trois processus limites différents.
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