Des inégalités spectrales furent introduites en théorie du contrôle par David Russell et George Weiss en 1994 pour généraliser le test de contrôlabilité de Hautus à la dimension infinie. Elles constituent un outil efficace pour le contrôle de l'équation de Schrödinger linéaire en temps arbitraire au moyen d''un terme source localisé, comme démontré par Nicolas Burq et Maciej Zworski en 2004 grâce à l'unitarité de la transformée de Fourier dans les espaces de Hilbert. Elle permettent aussi d'analyser le filtrage suffisant pour discrétiser en espace cette équation, comme initié par Sylvain Ervedoza en 2008. Parallèlement s'est développée une approche de la contrôlabilité de l'équation de la chaleur linéaire en temps arbitraire au moyen d'un terme source localisé partant d'un autre type d'inégalités spectrales, introduit par Gilles Lebeau, suivant la stratégie itérative qu'il avait conçue avec Luc Robbiano en 1995. Cet exposé relira ces deux approches spectrales, comparera le contrôle du groupe de Schrödinger et le semigroupe de la chaleur au niveau de l'analyse fonctionnelle abstraite, et l'illustrera avec des exemples de problèmes d'EDP.
Il s'agit d'une collaboration avec Thomas Duyckaerts.
