Transport optimal, inégalités fonctionnelles et courbure pour les processus de Poisson

Orateur: Ronan HERRY
Localisation: Université de Bonn, Allemagne
Type: Séminaire informel analyse
Site: UGE , 4B 125
Date de début: 22/03/2022 - 10:30
Date de fin: 22/03/2022 - 12:00

La théorie du transport optimal permet de caractériser, sous la forme d'inégalités fonctionnelles, certaines propriétés probabilistes et géométriques d'un espace métrique mesuré.
Par exemple, les inégalités de transport de Marton-Talagrand caractérisent la concentration de la mesure adimensionnelle.
Plus récemment, la théorie de Lott-Sturm-Villani permet d'étendre la théorie des variétés Riemannienne à courbure minorée à des espaces métriques moins réguliers. Dans ce cas, la courbure minorée est caractérisée par une inégalité de déplacement convexe le long des géodésiques du transport optimal.

Toutefois, la théorie reste assez mal comprise dans le cas d'espaces discrets. Nous présentons quelques inégalités probabilistes et géométriques pour les processus de Poisson :
1) Des inégalités de transport-entropie obtenues avec N.  Gozlan et G. Peccati.
2) Une inégalité déplacement convexe / courbure obtenue avec L.  Dello Schiavo et K. Suzuki.

Ces inégalités peuvent être vues comme le pendant poissonnien d'inégalités gaussienne bien connues. Toutefois la nature discrète des processus Poisson fait qu'ils ne peuvent pas satisfaire des inégalités aussi bonnes que la loi gaussienne.  Sans entrer dans les détails techniques, je présenterai la stratégie qui nous a permis de contourner cette difficulté.

Enfin, je souhaite évoquer quelques questions ouvertes dans la lignée de ces travaux.