Soit $(T_t)_{t \geq 0}$ un semigroupe agissant sur un espace de Lebesgue $L^p(\Omega)$, de générateur $A$. Une propriété importante de ce semigroupe est de savoir s'il possède un calcul $H^\infty$, ce qui veut dire que $\|m(A)\| \leq C \|m\|_{\infty,\sigma}$, c'est-à-dire insérer le générateur $A$ dans par exemple une fonction rationnelle holomorphe et bornée sur un secteur $\Sigma_\sigma$ dans le plan complexe produit un opérateur borné sur $L^p$.
Elle entraine par exemple la régularité maximale si $\sigma <\frac{\pi}{2}$, propriété centrale dans l'étude des équations d'évolution paraboliques.
Dans un premier temps, nous allons rappeler quels sont les résultats classiques et récents qui établissent un calcul $H^\infty$, en considérant surtout des semigroupes (sous-)markoviens.
Dans un deuxième temps, nous détaillerons quelques éléments clé dans les démonstrations des résultats récents, qui utilisent des fonctions explicites dites de Bellman et des estimations bilinéaires de certains fonctionnelles associées au semigroupe.
