L'étude des surfaces minimales relie algèbre, analyse et géométrie différentielle et constitue un sujet en voie d'expansion depuis une trentaine d'années. Après une brève exposition de la théorie des surfaces minimales, je tenterai d'expliquer une méthode de construction, dite méthode de recollement, qui permet de construire de nouvelles surfaces, par exemple en ajoutant du genre à des surfaces déjà connues. Les surfaces de Riemann en sont un cas particulier. Celles-ci sont simplement périodiques et peuvent être vues comme une infinité de plans horizontaux reliés les uns par un nombre fini de de petits cous (plus précisément, des petits bouts de caténoïdes). Bien que la méthode classique en dimension 2 soit très algébrique, nous nous intéresserons plutôt à une méthode issue de l'analyse non linéaire qui nous permet d'obtenir une excellente description de la géométrie de la surface alors obtenue. Sans rentrer dans les détails techniques, j'expliquerai les principaux problèmes que l'on rencontre pour le processus de recollement.
