Etant donné un système de fonctions itérées contractantes S = {f1, ..., fm} , où pour i = 1, ..., n, fi : Rd → Rd, le théorème de Hutchinson énonce l’existence d’un unique compact non vide K invariant par S au sens ou il vérifie K = ⋃1≤i≤m fi(K). Le fractal K peut être obtenu comme limite (au sens de la topologie de Hausdorff) pour n’importe quel point x des compacts Kn(x) définis par Kn(x) = {fi1 ◦ ... ◦ fin (x), (i1, ..., in) ∈ {1, ..., m}n}.
Ainsi, un problème qui se pose naturellement consiste à raffiner cette notion d’approximation par l’orbite de x sous S ⋃n∈N Kn(x) = {fi1 ◦ ... ◦ fin (x), (i1, ..., in) ∈ {1, ..., m}n , n ∈ N} en définissant une notion de vitesse d’approximation d’un point z ∈ K par cette oribte. Etant donné un fractal K, l’enjeu est alors de déterminer la taille (comprendre la dimension de Hausdorff) de l’ensemble des points approximables à une certaine vitesse.
Dans ce mini-cours, nous commencerons d’abord par introduire les notions de bases de géométrie fractale (mesures de Hausdorff, dimension de Hausdorff, calcul de de dimensions de fractals etc...). En suite, nous définirons la vitesse d’approximation d’un point ainsi que les concepts d’approximations diophantienne relatifs à notre étude. Enfin, si le temps nous le permet, nous donnerons des résultats récents dans le domaine.
