Métastabilité et temps de transition pour une équation aux dérivées partielles stochastique en dimension 1

Orateur: BARRET Florent
Localisation: École polytechnique, France
Type: Séminaire des doctorants
Site: UPEM
Salle: 4B 05R
Date de début: 05/10/2011 - 15:15
Date de fin: 05/10/2011 - 15:15

On s'intéresse au comportement métastable pour la solution d'une EDPS (équation aux dérivées partielles stochastique) parabolique semi-linéaire, la partie aléatoire étant un bruit blanc en espace-temps sur [0,1]. Cette équation peut être vue comme la perturbation aléatoire d'un flot de gradient d'une fonctionnelle d'action en dimension infinie. On examine dans l'asymptotique du bruit faible les transitions de notre processus entre deux minima de cette action. Le temps de transition suit une loi exponentielle, l'utilisation des grandes déviations permet d'en déduire les asymptotiques logarithmiques (résultats de Freidlin et Wentzell). On montre dans notre cas la formule dite d'Eyring-Kramers qui donne une asymptotique précise de l'espérance du temps de transition. Cette formule est démontrée pour les diffusions en dimension finie. La preuve repose sur une approximation par différence finie en espace de l'EDPS. On applique les estimations en dimension finie au système d'équations différentielles stochastiques obtenu. La principale difficulté réside dans le fait d'obtenir des estimations avec des erreurs qui ne dépendent pas de la dimension (égale au nombre de points de discrétisation).