Soit $\mathbb{B}=\{X \text{ espace de Banach de dimension }n\}$. Pour $X$ et $Y$ dans $\mathbb{B}$, on définit la distance de Banach-Mazur par $d(X,Y)=\inf\{\|T\|\cdot \|T^{-1}\|, T \text{ isomorphisme entre }X\text{ et }Y\}$. Un théorème de F. John permet d'affirmer que pour tout $X$ dans $\mathbb{B}$, on a $d(X, l_2^n) \le \sqrt{n}$ et le $\sqrt{n}$ est optimal (puisque $d(l_2^n , l_1^n ) = \sqrt{n}$). Ainsi pour tout $X$, $Y$ dans $\mathbb{B}$ on a $d(X, Y) \le n$ et un théorème de Gluskin montre qu’il existe $X$ et $Y$ pour lesquels $d(X, Y )\ge cn$. En d’autres termes, le diamètre de $\mathbb{B}$ pour cette distance est de l’ordre de $n$ et $l_2^n$ en est un centre. La question est de savoir ce qui se passe si on venait à remplacer $l_2^n$ par d’autres espaces comme $l_\infty^n$ . Le meilleur résultat connu à présent est que pour tout $X$ dans $\mathbb{B}$ on a $d(X, l_\infty^n ) ≤ n^{\frac{5}{6}}$. On essaiera durant cet exposé d’introduire les notions essentielles pour aborder ce sujet et donner une idée de la preuve de la distance au cube.
