Asymptotique des collisions rasantes pour les équations de Kac et de Boltzmann spatialements homogènes sans cutoff

Orateur: David GODINHO
Type: Séminaire des doctorants
Site: UPEM
Salle: 4B08R
Date de début: 15/05/2013 - 15:00
Date de fin: 15/05/2013 - 15:00

L'équation de Boltzmann décrit la densité f_t(v) de particules qui se déplacent dans un gaz avec une vitesse v à un temps t. L'asymptotique des collisions rasantes correspond au cas où l'on se concentre sur les "petites" collisions de particules engendrant de petites déviations. Ces collisions sont en nombre infini sur chaque intervalle de temps. Il est connu que dans ce cas, la solution de l'équation de Boltzmann converge vers la solution de l'équation de Landau. Mais il n'y a pas de vitesse de convergence explicite connue à ce jour. Nous nous intéresserons dans un premier temps à l'équation de Kac qui est une caricature unidimensionnelle de l'équation de Boltzmann. Nous donnerons une vitesse de convergence explicite vers une équation de type Fokker-Planck dans le cas de l'asymptotique des collisions rasantes. En s'inspirant de ce résultat, nous approcherons ensuite la solution de l'équation de Kac dans le cas général, ce qui nous permettra de construire un système de particules convergeant vers cette dernière. Nous nous intéresserons ensuite à l'asymptotique des collisions rasantes pour l'équation de Boltzmann dans les cas des potentiels "mous" et des potentiels de type Coulomb. Nous donnerons là encore une vitesse de convergence explicite. Nous utiliserons des outils probabilistes.