Dans les géométries de courbure constante, les boules géodésiques sont les domaines optimaux pour de nombreux problèmes d'optimisation de formes, notamment de nature spectrale. On peut s'attendre à des caractérisations similaires dans les espaces symétriques de rang un, dans la mesure où les boules y sont les domaines les plus symétriques. Cependant très peu de résultats de ce type y sont connus. Dans cet exposé nous montrerons que les boules géodésiques sont les seuls maximiseurs de la première valeur propre de Steklov parmi les domaines de volume fixé, généralisant aux espaces symétriques de rang un non compacts une inégalité obtenue par F. Brock dans l'espace euclidien. Il s'agit d'un travail en commun avec Berardo Ruffini.
